İstatistik

1. İstatistik nedir?

İstatistik, belirli bir amaç için verilerin toplanması, sınıflandırılması, çözümlenmesi ve sonuçların yorumlanmasıyla ilgili yöntemleri içeren bilim dalıdır. Kelimenin iki anlamı vardır: dar anlamda “istatistikler”, nüfus, tarım ya da sağlık istatistikleri gibi sistemli olarak toplanıp tablo ve grafiklerle sunulan sayısal bilgilerdir; geniş anlamda istatistik ise bu verilerden sonuç çıkarmayı sağlayan bilimdir.

Kısa tarihçe

Sayım ve kayıt tutma Sümerlere kadar uzanır. “İstatistik” adı 17. yüzyılda Alman üniversitelerinde okutulan “devlete dair bilgiler” dersinden gelir. Olasılık kuramının gelişmesiyle 17. yüzyıldan itibaren genelleme yapmak mümkün oldu. Modern istatistik 20. yüzyılın başında Francis Galton, Karl Pearson ve William Sealy Gosset’in çalışmalarıyla şekillendi; Gosset, bir bira fabrikasında arpa ve maya üzerinde çalışırken küçük örnekler için “Student t” dağılımını geliştirdi. Ronald Fisher ise İngiltere’deki Rothamsted tarım araştırma istasyonunda varyans analizini ve deneme tekniğini kurdu. Yani modern istatistiğin önemli bir kısmı tarımsal araştırmalardan doğmuştur.

2. Temel kavramlar

• Populasyon (ana kütle, evren): İncelenen özelliğe sahip bütün birimlerin oluşturduğu topluluk; örneğin bir ildeki bütün buğday tarlaları.
• Örnek (örneklem): Populasyonu temsil etmek üzere ondan seçilen birimler; örneğin bu tarlalardan seçilen 100 tarla.
• Birim (gözlem birimi): Hakkında bilgi toplanan her bir eleman; tarla, bitki, hayvan ya da işletme.
• Parametre: Populasyonu tanımlayan değer; populasyon ortalaması (μ) ve standart sapması (σ) gibi. Genellikle bilinmez.
• İstatistik (tahminci): Örnekten hesaplanan ve parametreyi tahmin etmekte kullanılan değer; örnek ortalaması (x̄) ve standart sapması (s) gibi.
• Tam sayım ve örnekleme: Populasyonun bütün birimlerinin incelenmesine tam sayım denir; çoğu zaman pahalı, uzun ya da imkânsız olduğu için örnekleme yapılır.

Bir araştırmanın sonuçlarının güvenilir olması için örneğin populasyonu iyi temsil etmesi gerekir. Kötü seçilmiş bir örnek, yöntem ne kadar ileri olursa olsun yanlış sonuç verir.

3. Değişkenler ve ölçek düzeyleri

Birimden birime farklı değer alabilen özelliğe değişken denir. Bütün birimlerde aynı olan özellik ise sabittir.

• Nicel ve nitel değişkenler: Sayı ve miktarla ifade edilebilenler nicel (verim, bitki boyu, süt verimi), sınıflandırılabilenler nitel ya da kategoriktir (çeşit adı, toprak türü, hastalık var/yok).
• Sürekli ve kesikli değişkenler: İki değer arasında sonsuz sayıda değer alabilenler süreklidir (ağırlık, sıcaklık); yalnızca belirli değerleri alabilenler kesiklidir (başaktaki tane sayısı, sürüdeki hayvan sayısı).
• Bağımlı ve bağımsız değişkenler: Bir araştırmada etkisi incelenen değişken bağımsız (gübre dozu), bu etkiyle değişen bağımlı değişkendir (verim).

Ölçek düzeyleri

Hangi istatistik yöntemin kullanılabileceğini değişkenin türü ve ölçek düzeyi belirler; örneğin çeşit adlarının ortalaması alınamaz.

4. Örnekleme yöntemleri

• Basit tesadüfi örnekleme: Populasyondaki her birimin seçilme şansı eşittir; kura ya da tesadüf sayılarıyla seçilir.
• Sistematik örnekleme: Listedeki birimlerden belirli aralıklarla (örneğin her 10. tarla) seçilir; ilk birim tesadüfen belirlenir.
• Tabakalı örnekleme: Populasyon kendi içinde benzer tabakalara (örneğin küçük, orta ve büyük işletmeler) ayrılır ve her tabakadan ayrı ayrı örnek alınır. Tabakalar birbirinden çok farklıysa en doğru sonucu verir.
• Küme örneklemesi: Populasyon kümelere (örneğin köyler) ayrılır, tesadüfen seçilen kümelerdeki bütün birimler incelenir; birimlerin listesi yoksa ya da dağınıksa pratiktir.

Örnek büyüklüğü arttıkça tahminler genellikle daha kesin olur; ama maliyet ve süre de artar. Örnekleme yöntemi, araştırmanın amacına ve populasyonun yapısına göre seçilmelidir.

5. Verilerin düzenlenmesi: frekans tabloları

Ham veriler düzenlenmeden bir anlam ifade etmez. Çok sayıda gözlem varsa veriler sınıflara ayrılarak frekans tablosu hazırlanır. Sınıf sayısı (k) için sık kullanılan bir kural Sturges kuralıdır: k = 1 + 3,322 log n. Sınıf genişliği ise açıklığın (en büyük − en küçük) sınıf sayısına bölünmesiyle bulunur.

Sınıf değeri sınıfın orta noktasıdır. Bir sınıfa kadar olan frekansların toplamına birikimli frekans denir.

Grafikler

• Histogram: Sürekli verilerin frekanslarını bitişik dikdörtgenlerle gösterir.
• Frekans poligonu: Sınıf değerlerine karşılık gelen frekansların doğrularla birleştirilmesidir.
• Çubuk ve pasta grafikleri: Nitel verilerde kategorilerin sayısını ya da payını gösterir.
• Kutu grafiği: Verilerin ortancasını, çeyreklerini ve aykırı değerlerini tek bakışta gösterir.

6. Merkezi eğilim ölçüleri

Verilerin hangi değer etrafında toplandığını gösteren ölçülerdir.

• Aritmetik ortalama (x̄): Değerlerin toplamının gözlem sayısına bölümüdür. En çok kullanılan ölçüdür, ama aşırı değerlerden etkilenir.
• Ortanca (medyan): Küçükten büyüğe sıralanmış verilerin tam ortasındaki değerdir; gözlem sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalamasıdır. Aşırı değerlerden etkilenmez; gelir ve işletme büyüklüğü gibi çarpık verilerde tercih edilir.
• Tepe değeri (mod): En çok tekrar eden değerdir; nitel verilerde de kullanılabilir.
• Geometrik ortalama: Büyüme hızları ve oransal değişimlerin ortalamasında kullanılır.
• Tartılı (ağırlıklı) ortalama: Değerlerin önem ya da miktarlarına göre ağırlıklandırılmasıyla bulunur; örneğin farklı büyüklükteki tarlaların ortalama verimi.

7. Dağılım ölçüleri

Ortalaması aynı olan iki veri grubu birbirinden çok farklı olabilir; bu yüzden verilerin ortalama etrafında nasıl dağıldığı da ölçülmelidir.

• Açıklık (değişim aralığı): En büyük ve en küçük değer arasındaki fark. Kolaydır ama yalnızca iki değere dayanır.
• Varyans (s²): Değerlerin ortalamadan farklarının kareleri toplamının n − 1’e bölümüdür: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1).
• Standart sapma (s): Varyansın kareköküdür; verilerle aynı birimdedir.
• Değişim katsayısı (DK): Standart sapmanın ortalamaya oranının yüzdesidir: DK = s / x̄ × 100. Birimleri ya da ortalamaları farklı değişkenlerin değişkenliğini karşılaştırmayı sağlar. Tarla denemelerinde denemenin güvenilirliğinin bir göstergesi olarak kullanılır.
• Standart hata: Ortalamanın standart sapmasıdır: s / √n. Örnek büyüdükçe küçülür.

8. Olasılık

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının 0 ile 1 arasında bir sayıyla ifade edilmesidir; 0 imkânsız, 1 kesin olay demektir. İstatistiksel çıkarımın temeli olasılıktır.

• Deney ve örnek uzayı: Sonucu önceden kesin bilinemeyen işleme deney, bütün olası sonuçların kümesine örnek uzayı denir.
• Klasik olasılık: Sonuçlar eşit olasılıklıysa P(A) = istenen sonuç sayısı / bütün sonuçların sayısı.
• Toplama kuralı: P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(A ve B). Olaylar aynı anda gerçekleşemiyorsa son terim sıfırdır.
• Çarpma kuralı: Bağımsız olaylarda P(A ve B) = P(A) × P(B).
• Koşullu olasılık: B olayı gerçekleştiğine göre A’nın olasılığı: P(A | B) = P(A ve B) / P(B). Yeni bilgi geldikçe olasılıkların güncellenmesi Bayes kuralı ile yapılır.

Sayma kuralları

n farklı nesnenin sıralanma sayısı n! (faktöriyel), n nesneden r tanesinin sıralı seçimi permütasyon P(n, r) = n! / (n − r)!, sırasız seçimi ise kombinasyon C(n, r) = n! / [r! (n − r)!] ile bulunur.

9. Olasılık dağılımları

Bir değişkenin alabileceği değerlerin olasılıklarını gösteren matematiksel modellere olasılık dağılımı denir.

• Binom dağılımı: Sonucu iki seçenekli (başarılı/başarısız) ve her denemede başarı olasılığı aynı olan bağımsız denemelerde başarı sayısını modeller. Örneğin çimlenme oranı yüzde 80 olan bir tohum partisinden ekilen 3 tohumun hepsinin çimlenme olasılığı 0,8 × 0,8 × 0,8 = 0,512’dir.
• Poisson dağılımı: Belirli bir alan ya da zaman aralığında seyrek görülen olayların sayısını modeller; bir yapraktaki leke sayısı ya da bir tuzaktaki böcek sayısı gibi.
• Normal dağılım: Ortalamaya göre simetrik, çan eğrisi biçiminde bir dağılımdır. Verim, boy ve ağırlık gibi pek çok sürekli değişken yaklaşık olarak normal dağılır. Değerlerin yaklaşık yüzde 68’i ortalamanın ±1, yüzde 95’i ±2, yüzde 99,7’si ±3 standart sapma içinde yer alır.

Herhangi bir normal değişken, z = (x − μ) / σ dönüşümüyle ortalaması 0, standart sapması 1 olan standart normal dağılıma çevrilir; olasılıklar z tablosundan okunur. Küçük örneklerde populasyon standart sapması bilinmediğinde normal dağılım yerine t dağılımı kullanılır.

10. Örnekleme dağılımı ve güven aralığı

Aynı populasyondan alınan farklı örneklerin ortalamaları birbirinden biraz farklı çıkar. Örnek ortalamalarının dağılımına örnekleme dağılımı denir. Merkezi limit teoremine göre örnek yeterince büyükse (genellikle n ≥ 30), populasyonun dağılımı ne olursa olsun örnek ortalamaları yaklaşık normal dağılır ve standart sapmaları standart hataya (σ / √n) eşittir.

Bir parametreyi tek bir değerle tahmin etmeye nokta tahmini, belirli bir güvenle içinde bulunduğu aralığı vermeye aralık tahmini denir. Populasyon ortalaması için güven aralığı: x̄ ± t × s / √n.

11. Hipotez testleri

Hipotez testi, örnekten elde edilen verilere dayanarak populasyon hakkındaki bir iddianın doğru olup olmadığına karar verme yöntemidir.

1. Hipotezlerin kurulması: Fark ya da etki olmadığını söyleyen sıfır hipotezi (H₀) ile bunun karşıtı olan alternatif hipotez (H₁) yazılır. Örneğin H₀: yeni çeşidin verimi standart çeşitten farklı değildir.
2. Önem düzeyinin seçilmesi: Genellikle α = 0,05 ya da 0,01.
3. Test istatistiğinin hesaplanması: Verinin türüne göre z, t, F ya da ki-kare testi seçilir.
4. Karar: Hesaplanan değer tablo değerinden büyükse ya da p değeri α’dan küçükse H₀ reddedilir.

Sık kullanılan testler

• t testi: Bir ortalamanın belirli bir değerle ya da iki grup ortalamasının birbiriyle karşılaştırılması. Aynı birimlerden alınan önce-sonra ölçümlerinde eşleştirilmiş t testi kullanılır.
• Varyans analizi (F testi): Üç ya da daha fazla grubun karşılaştırılması; ayrıntıları Araştırma ve Deneme Metotları dersinde anlatılmaktadır.
• Ki-kare testi: Nitel verilerde gözlenen frekansların beklenen frekanslardan farklı olup olmadığını ya da iki nitel değişkenin bağımsızlığını test eder; örneğin melez döllerde açılma oranlarının Mendel oranlarına uyup uymadığı.

12. Korelasyon ve regresyon

Korelasyon, iki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü gösterir. Korelasyon katsayısı (r) −1 ile +1 arasında değer alır: +1’e yakın değerler güçlü bir pozitif ilişkiyi, −1’e yakın değerler güçlü bir negatif ilişkiyi, 0’a yakın değerler doğrusal ilişki olmadığını gösterir. Korelasyon bir neden-sonuç ilişkisi kanıtlamaz.

Regresyon, bağımlı bir değişkenin bağımsız değişkenle nasıl değiştiğini bir denklemle açıklar. Basit doğrusal regresyon denklemi Y = a + bX’tir; b regresyon katsayısıdır ve X’teki bir birimlik artışın Y’de yarattığı ortalama değişimi gösterir. Belirleme katsayısı (R² = r²), Y’deki değişimin ne kadarının X ile açıklandığını gösterir.

Kavramlar sözlüğü

Populasyon (evren)

İncelenen özelliğe sahip bütün birimlerin oluşturduğu topluluk.

Örnek

Populasyonu temsil etmek üzere seçilen birimler.

Parametre

Populasyonu tanımlayan ve genellikle bilinmeyen değer (μ, σ).

İstatistik (tahminci)

Örnekten hesaplanan ve parametreyi tahmin eden değer (x̄, s).

Değişken

Birimden birime farklı değer alabilen özellik.

Nicel değişken

Sayı ve miktarla ifade edilen değişken.

Nitel değişken

Sınıflandırılarak ifade edilen değişken.

Frekans

Bir değerin ya da sınıfın kaç kez görüldüğü.

Aritmetik ortalama

Değerlerin toplamının gözlem sayısına bölümü.

Ortanca (medyan)

Sıralanmış verilerin tam ortasındaki değer.

Tepe değeri (mod)

En çok tekrar eden değer.

Varyans

Ortalamadan farkların kareleri toplamının n − 1’e bölümü.

Standart sapma

Varyansın karekökü.

Değişim katsayısı

Standart sapmanın ortalamaya oranının yüzdesi.

Standart hata

Ortalamanın standart sapması; s / √n.

Normal dağılım

Ortalamaya göre simetrik, çan eğrisi biçimindeki sürekli dağılım.

Güven aralığı

Bir parametrenin belirli bir güvenle içinde bulunduğu aralık.

p değeri

H₀ doğruyken gözlenen kadar ya da daha uç bir sonuç elde etme olasılığı.

I. tip hata

Doğru olan H₀’ın reddedilmesi.

Korelasyon katsayısı (r)

İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönü ve gücü.

Kendini dene

Her soruda bir seçeneğe tıkla; doğru cevap ve açıklaması hemen görünür.